基礎数学例

$2 z^{3} - 16 z - 16$

ステップ 1

$2$ を $2 z^{3} - 16 z - 16$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$2$ を $2 z^{3}$ で因数分解します。

$2 (z^{3}) - 16 z - 16$

ステップ 1.2

$2$ を $- 16 z$ で因数分解します。

$2 (z^{3}) + 2 (- 8 z) - 16$

ステップ 1.3

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$2 z^{3} + 2 (- 8 z) + 2 \cdot - 8$

ステップ 1.4

$2$ を $2 z^{3} + 2 (- 8 z)$ で因数分解します。

$2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$

ステップ 1.5

$2$ を $2 (z^{3} - 8 z) + 2 \cdot - 8$ で因数分解します。

$2 (z^{3} - 8 z - 8)$

ステップ 2

因数分解。

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ステップ 2.1

有理根検定を用いて $z^{3} - 8 z - 8$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} - 8 \cdot - 2 - 8$

ステップ 2.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 8 \cdot - 2 - 8$

ステップ 2.1.3.3

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 + 16 - 8$

ステップ 2.1.3.4

$- 8$ と $16$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 2.1.3.5

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 2.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $z + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{z^{3} - 8 z - 8}{z + 2}$

ステップ 2.1.5

$z^{3} - 8 z - 8$ を $z + 2$ で割ります。

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ステップ 2.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$z$

$2$

$z^{3}$

$0 z^{2}$

$8 z$

$8$

ステップ 2.1.5.2

被除数 $z^{3}$ の最高次項を除数 $z$ の最高次項で割ります。

					$z^{2}$
	$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$

ステップ 2.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			+	$z^{3}$	+	$2 z^{2}$

ステップ 2.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $z^{3} + 2 z^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$

ステップ 2.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$

ステップ 2.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$z^{2}$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

ステップ 2.1.5.7

被除数 $- 2 z^{2}$ の最高次項を除数 $z$ の最高次項で割ります。

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$

ステップ 2.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					-	$2 z^{2}$	-	$4 z$

ステップ 2.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 z^{2} - 4 z$ の符号をすべて変更します。

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$

ステップ 2.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$

ステップ 2.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$z^{2}$	-	$2 z$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

ステップ 2.1.5.12

被除数 $- 4 z$ の最高次項を除数 $z$ の最高次項で割ります。

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$

ステップ 2.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							-	$4 z$	-	$8$

ステップ 2.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 z - 8$ の符号をすべて変更します。

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$

ステップ 2.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$z^{2}$	-	$2 z$	-	$4$
$z$	+	$2$		$z^{3}$	+	$0 z^{2}$	-	$8 z$	-	$8$
			-	$z^{3}$	-	$2 z^{2}$
					-	$2 z^{2}$	-	$8 z$
					+	$2 z^{2}$	+	$4 z$
							-	$4 z$	-	$8$
							+	$4 z$	+	$8$
										$0$

ステップ 2.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$z^{2} - 2 z - 4$

ステップ 2.1.6

$z^{3} - 8 z - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$2 ((z + 2) (z^{2} - 2 z - 4))$

ステップ 2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (z + 2) (z^{2} - 2 z - 4)$

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